Los Números

¿QUE ES UN NÚMERO?

Un número es un ente (algo intangible) que nos sirve para contar y establecer un orden de sucesión entre las cosas. Los números se pueden clasificar en:

• N=Números Naturales
• Z=Números Enteros
• Q=Números Racionales    
• I=Irracionales (en amarillo)
• R=Números Reales

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

		Enteros (Z)	Naturales: (N) = {0, 1, 2, 3, ...} N Ç Z- = {0} Negativos: (Z-) = {0, –1, –2, ...}
	Racionales: (Q)     a/b
Reales (R)		Fraccionarios	Decimal exacto:          0.5 = 1/2 Periódico puro:          2.33333333... = 7/3 Periódico mixto:          2.34444444... = 211/90
	Irracionales: (I)    a/b	Tiene infinitas cifras decimales NO periódicas      p  = 3.14159265...      f  = 1.61803398... Ir     √2 = 1.41421356...      e = 2.71828182...
Imaginarios: (C)	√-2

BREVE INTRODUCCIÓN HISTÓRICA DE LOS NÚMEROS

La noción de número es tan primitiva como el propio hombre. Los hombres primitivos utilizaban los dedos, muescas en huesos... para expresar cantidades: un mamut, una luna, un sol... empleando los NÚMEROS NATURALES.

Los babilonios (2100 a. C.) poseían una organización administrativa contable muy compleja, lo que motivó un desarrollo importante en los sistemas numéricos. Tenían un sistema de numeración base 60 perfectamente maduro. En él destacaba el valor posicional de las cifras, como en la actualidad. No utilizaban el cero, sino que dejaban un espacio en blanco, lo que inducía en muchas ocasiones a error; más adelante ya introdujeron un nuevo símbolo, parecido a una trompeta, que sustituía al espacio vacío y que podríamos considerar como cero.

A continuación, civilizaciones como la egipcia (2000 a. C.), empezaron a utilizar expresiones que representaban las fracciones, apareciendo así los NÚMEROS FRACCIONARIOS, eso sí, muy básicos y generalmente con el 1 como numerador.

En el siglo V a. C. los griegos encontraron otro tipo de números que eran la solución de determinadas ecuaciones y que no tenían fin, eran algo se le escapaba al razonamiento humano, eran los NÚMEROS IRRACIONALES.

Hubo que esperar al siglo XVII para empezar a considerar los NÚMEROS NEGATIVOS. El propio Descartes denominaba soluciones falsas a las raíces negativas de una ecuación, aunque es cierto que civilizaciones como la China parece que ya los conocían, colocando bolas rojas en los ábacos, simbolizando a los números negativos (de ahí que muchas veces oímos la expresión de números rojos).

La aparición de soluciones como "raíz cuadrada de menos cuatro"  no podían ser interpretadas de ninguna manera. Hubo que esperar al siglo XIX, cuando ya se le empezó a dar una fundamentación teórica y a representarlo gráficamente, momento en el que se comenzó a hablar de números imaginarios.

NUMEROS NATURALES:
   Los numeros naturales son aquellos que normarmente utilizamos para contar. Son aquellos numeros  positivos y sin parte decimal.

   N= ^{{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ...}}

NUMEROS ENTEROS:

   Son todos los numeros naturales y sus opuestos, es decir, los numeros enteros positivos y negativos.

Z = { 1 , -1 ,2 , -2 , 3 , -3 , 4 , -4... }

NUMEROS RACIONALES:

   Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción. Incluyen los naturales, enteros.

NUMEROS IRRACIONALES:

   Son los numeros que poseen infinitas cifras decimales.

                        10/3 = 0,33333.....

                        pi = 3,141592354....                         
                         e = 2,7182818....

NUMEROS REALES:

    Incluyen todos los numeros anteriormente descritos. Cubren la recta real y cualquier punto de esta es un numero real.

Cada conjunto de números engloba a otros, como puedes observar en esta imagen:

Historia de los números naturales

En la Prehistoria, las tribus más primitivas, apenas si sabían distinguir entre uno y muchos. Más adelante, utilizaron un lenguaje corporal (dedos, mano, codo, pie...) y con ayuda de ramas, piedras, etc. consiguieron contar números cada vez mayores.

Los babilónicos fueron los primeros que utilizaron el cero para los cálculos matemáticos. Los símbolos que representan a los números no han sido siempre los mismos:

 

•  En Mesopotamia se representaban en forma de cuña.
•  En Egipto mediante jeroglíficos.
•  En Grecia, las letras de su alfabeto.
•  En Roma los símbolos que se usaron fueron: I=1;V=5; X=10; L=50; C = 100; D=500; M= 1000.
•  Nuestro sistema de numeración actual que lo introdujeron los árabes y es de origen Hindú es:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Historia de los números enteros

  Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente para realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en sus demostraciones geométricas. Sin embargo, corresponde a los hindúes el mérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los números positivos, negativos y cero, hacia el año 650 d. C.

Los árabes no usaron los números negativos y los consideraban como restas indicadas. A partir del siglo XV, algunos matemáticos muy conocidos comenzaron a utilizarlos en sus trabajos. Stifel, popularizó los signos + y - y llamaba a los números negativos, números absurdos, hasta entonces se utilizaba la palabra latina minus que significa menos, o su abreviatura m.   

Historia de los números racionales

 Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.
Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.

En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números decimales tal y como los conocemos hoy.

    A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones decimales que se expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc.,  pero los escribía de una forma complicada; así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3).

A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en 1792.

Historia de los números irracionales

 La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido secuencial. Así en el siglo VII a.C, los griegos descubrieron las magnitudes irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado, estando, también, familiarizados con la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, pero sin embargo, no conocían los números negativos y  el cero, ni tampoco tenían un sistema de símbolos literales bien desarrollado.

El predominio en esta época de la Geometría fue la causa de que la Aritmética y el Álgebra no se desarrollara independientemente. Por ejemplo, los elementos que intervienen en los cálculos se representaban geométricamente y las magnitudes irracionales las tomaban como segmentos de recta. Así una ecuación que hoy en día representamos por:

                    X² + a X = b²

para ellos significaba hallar un segmento X tal que si al cuadrado construido sobre él, se le suma un rectángulo construido sobre ese mismo segmento y sobre un segmento dado "a", se obtuviese un rectángulo de área coincidente con la de un cuadrado de lado "b" conocido.

Es en China, hacia los siglos II y I a.C, donde por primera vez se hace uso de coeficientes negativos y se dan reglas para operar con ellos, pudiendo resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado, buscando sólo las soluciones positivas. También conocían técnicas rudimentarias para la resolución de las ecuaciones de tercer grado.

Cuando la matemática Griega comenzó a declinar, Diofanto abandonó la representación geométrica de los números y empezó a desarrollar las reglas del álgebra y aritmética, utilizando un literal, por ejemplo, para representar las incógnitas de una ecuación. En esta etapa, Europa se estanca científicamente y el desarrollo matemático se desplaza hacia la India, Asía Central y los países árabes, impulsándose sobre todo la Astronomía.

Fueron los indios, entre los siglos V- XV,  los que inventaron el sistema de numeración actual, introdujeron los números negativos y comenzaron a operar con los números irracionales de forma semejante que con los racionales sin representarlos geométricamente. Utilizaban símbolos especiales para las operaciones algebraicas, como la radicación. encontraron métodos para resolver ecuaciones, y descubrieron la fórmula del binomio de Newton (en forma verbal).

Durante el periodo renacentista, entre los siglos XVI y XVIII, los europeos toman contacto con las ideas griegas a través de traducciones árabes reemplazándolas, paulatinamente, por los métodos indios.

A principios del siglo XVI, los italianos Tartaglia y Ferrari, lograron resolver por radicales, de forma general, las ecuaciones de tercer y cuarto grado, viéndose involucrados en el uso de los números imposibles (imaginarios), aunque sin fundamento lógico. La notación algebraica se perfecciona gracias a Viéte y Descartes, difiriendo poco de la actual.

A mediados del siglo XVII en Gran Bretaña, Neper inventa los logaritmos y Briggs elabora las primeras tablas de logaritmos decimales. A partir de esta época el nacimiento del análisis hizo que se despreciase un poco el álgebra debido al interés sobre los estudios de magnitudes variables.

Para terminar, es importante resaltar que el conocimiento de los números por parte de los Griegos no fue superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano fueron los que culminaron la obra, que duro medio siglo de investigaciones, sobre los números naturales, enteroros, racionales e irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.

Los conceptos de intervalo y entornos asociados a los números reales, así como una operación denominada paso al límite, consolidó y otorgó rigor al conjunto de conceptos y métodos que constituyen la rama de las matemáticas conocida como Cálculo diferencial e Integral.